TP : Simulation de la désintégration du Radon 220

• Simuler la désintégration du Radon 220
• exploiter la courbe de décroissance temps de demi vie
• modélisation de la courbe
• À partir d’une série de mesures, utiliser un tableur ou une calculatrice pour calculer la moyenne, la variance et l’écart-type du nombre de désintégrations enregistrées pendant un intervalle de temps donné.
  

2. La simulation

Le logiciel "lancer de dés" dispose d'une partie intitulée "décroissance du nombre de dés".
Elle permet de simuler le nombre de dés encore en jeu en fonction du nombre de lancers successifs effectués. La règle d'élimination est celle présentée ci-dessus.

3. Travail à effectuer

1. Caractère aléatoire

Démarrer le logiciel "Lancer de dés" et choisir le 1- "Caractère aléatoire du lancer de dés"

• Sur la première page, observer les résultats successifs obtenus lors du lancer d'un dé. Faire au moins 100 lancers. Remettre à zéro et recommencer au moins trois fois.

Que pouvez-vous dire des probabilités d'obtention de l'un des six résultats possibles ?

• Dans le menu "nombre de dés", passer à 100 dés lancés simultanément (avec remise) et observez le nombre de dés qui affichent le résultat "6" lors de chaque lancer de 100 dés.

Donnez un encadrement approximatif du nombre de dés qui affichent "6" lors de chaque lancer de 100 dés.

• Dans le menu "nombre de dés", passer au diagramme en bâtons.
  Dans cette partie on lance toujours 100 dés simultanément (avec remise). Le diagramme représente, en abscisse, le nombre de dés qui affichent "6" lors d'un lancer de 100 dés et en ordonnée, la fréquence sortie de ce nombre de dés.
  Effectuez un grand nombre de lancers successifs de 100 dés (attention à la modification automatique de l'échelle).

Quel est le résultat le plus probable ?
Quelle est la moyenne des résultats ?
Cette moyenne était prévisible, montrez-le.

2. Suivi de la décroissance d'une population

Quitter la partie en cours (menu fichier) et choisir le 2- "Décroissance du nombre de dés".

• Lancer de 200 dés :
  Dans un premier temps, on dispose de 200 dés identiques. Lors de chaque lancer, le logiciel élimine les dés qui affichent "6". Observer l'allure du nuage de points obtenu.

 

Quelle est l'allure de la courbe ?
Vers quelle valeur tend le nombre de dés restants lorsque le nombre de lancer augmente ?
Pourquoi ?

• Lancer de 1000 dés :
  Dans le menu "nombre de dés", modifier le nombre de dés pour passer à 1000 dés. Répéter les opérations de lancer et observer l'allure du nuage de points.

Que pouvez-vous en dire (valeur de la limite, fluctuations…) ?

• Lancer de 1 000 000 de dés
  Modifier le nombre de dés pour passer à 1 000 000 de dés. Observer que l'allure du nuage de points est toujours la même mais que cette fois on n'observe pas de fluctuation.

Pourquoi ?

3. Etude quantitative de la diminution de la population des dés

Garder le lancer de 1 000 000 de dés, remettre à zéro et préparer un tableau dans lequel vous porterez : la date t du lancer (on effectue par exemple un lancer chaque seconde) ; le nombre N(t) de dés avant le lancer ; le nombre

N(t)=N(t)-N(t+1) de dés éliminés lors du lancer. Le tableau doit avoir au minimum 15 lignes.

Compléter votre tableau en calculant N(t)/N(t) pour chaque lancer.
Votre tableau doit avoir l'allure ci-dessous :

Date t du lancer	N(t)	N(t)	N(t)/N(t)
1	1 000 000
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Que pouvez-vous dire des diverses valeurs de N(t)/N(t) ?
Quelle est la moyenne des valeurs obtenues, quel est son écart type ?
Pourquoi cette moyenne est-elle négative ?
Pourquoi la valeur obtenue était-elle prévisible ?

On note la valeur absolue de la moyenne.

Quelle est, lors de chaque lancer, la relation entre et N(t)/N(t) ?

Rappel :L’écart type caractérise la dispersion des mesures : plus est petit, moins les valeurs sont dispersées ou plus elles sont proches de la moyenne

4. Application à une population de noyaux radioactifs

La relation précédente est établie pour une population de dés qui varie "par à-coups" lors de chaque lancer. La proportionnalité précédente, entre

N(t)/N(t) et est valable lors de chaque lancer.
Pour une population de noyaux radioactifs la variation est proportionnelle à la durée pendant laquelle on considère cette variation. On note t l'intervalle de temps entre deux déterminations du nombre de noyaux.

Quelle est alors la relation entre , t et N(t)/N(t) ?

1. Manipulation

• Lancer le logiciel Rad2 1.3.exe
• Lancer la simulation pour 3 600 noyaux sur 300 u.t.
• Copier le tableau dans le presse papier
• Lancer Regressi et faire Fichier>Nouveau>presse papier
• Enregistrer nos données sous VOTRENOM1
• Lancer de nouveau la simulation sur le logiciel Rad2 1.3.exe pour 2500 noyaux sur 300 u.t. pour aller plus vite vous pouver lancer deux simulation sur deux fenêtre de Rad2 1.3.exe
• Copier le tableau dans le presse papier
• Dans Regressi faire Fichier>Nouveau>presse papier
• Enregistrer nos données sous VOTRENOM2
• Fusionner les deux documents

2. Etude sous Regressi

• Tracer la tangente à la courbe à l'origine. La tangente coupe l'axe des abscisses en un point appelé la constante de temps

Déterminer la valeur de

• Modéliser la courbe

Où trouve-t-on la valeur de . En déduire la valeur de (constante radioactive).

3. Résolution de l'équation différentielle avec la méthode d'euler

Théorie Soit N (t) le nombre de noyau restant mesuré à différents instants t pour deux populations données de noyaux de radon 220. L’expérience montre que la durée de vie moyenne (ou constante de temps =1/) est la même pour les deux échantillons. Les deux courbes sont modélisées par le même type de fonction : Nous vérifions à t = 0 la relation suivante : ce qui s’écrit encore : N ’ = - N (1) , relation qui reste vraie à t quelconque N ’ est la valeur de la dérivée du nombre de noyau restant à l’instant t considéré ; mais N est mesurée tous les t secondes, de sorte que (2) relation qui permet d’appliquer la méthode d’Euler. Avec (1) et (2) on obtient N (t + t) - N (t) = - . N(t) . t. La population d’atomes radioactifs varie au cours du temps : elle diminue (d’où le signe “-”), proportionnellement à la fois au nombre moyen d’atomes présents initialement et à la durée de comptage. Pour deux mesures i et i + 1 successives, séparées donc de t, l’équation précédente s’écrit : N i+1 - N i = - . Ni . t. d'où N i+1 = N i .(1 - t) Puis : N i - N i-1 = - . Ni-1 . t. d'où N i = N i-1 .(1 - t) ............................................................................................. N 1 - N 0= - . N0 . t. d'où N 1 = N 0 .(1 - t) Si l’on donne une condition initiale, à savoir la valeur de N (t) à t = 0, et si l’on connaît la valeur de la constante on peut calculer successivement les valeurs de l’activité en appliquant cette relation de récurrence jusqu’au dernier point n. Le “pas” de ce programme désigne la grandeur notée en maths h, c’est-à-dire ici la durée t entre deux mesures successives. C’est un algorithme qui permet de résoudre une équation différentielle du premier ordre par la méthode d’Euler. La dérivée est donc ajustée de façon linéaire sur deux points successifs

• Ouvrir la première des deux pages du fichier REGRESSI
• Par GRANDEUR CAL, entrer le paramètre (l'appeler lamda car n'existe pas), en s ^-1 puis saisir la valeur numérique de trouvée précédemment
• Ouvrir la feuille de calcul EXPRESSIONS et saisir, à la suite du calcul de l’activité N, l’algorithme suivant, selon la syntaxe :

  Nc0=Max(N)
  Dt=t[1]-t[0]
  Nc[i]=Nc[i-1]*(1-lamda*Dt)

  où Dt représente en fait t et Nc pour N calculé

  La première ligne initialise l’algorithme (valeur de N à t = 0) ;
  la deuxième ligne définit le “pas” t du calcul ;
  la troisième fait les calculs en boucle du premier point i = 1 jusqu’au dernier point i = n du tableau de mesures.

• Observer le résultat dans le tableur VARIABLES puis en mode graphique par , AJOUTER la courbe Nc = f (t) à la précédente (axe des ordonnées à GAUCHE).
• Comparer et conclure.

2. Influence de t

Ouvrir un nouveau fichier par FICHIER NOUVEAU SIMULATION.
Définir le paramètre et lui donner la valeur admise ; le temps t est appelé “variable de contrôle”.
Sélectionner un nombre de points donnés (par exemple 16) et définir la durée totale (ou MAXI) du phénomène (par exemple 400 s) : le pas de calcul est alors déterminé (valeur affichée de t) ;
Sur la feuille de calcul, saisir :

Nc0=VALEUR (introduire un nombre réaliste : 250 par exemple)
Dt=t[1]-t[0]
Nc[i]=Nc[i-1]*(1-lamda*Dt)

Ouvrir une nouvelle feuille en cochant PAGES INDEPENDANTES et PAGES>NOUVELLE>CREER PAGE SIMULEE et changer le nombre de poins (128 par ex.) ce qui a pour effet de changer le pas. Superposer les pages et observer les graphiques. (CHOIX toutes)

Que remarque-t-on ?
Conclure