C. Evolution temporelle des systèmes électriques

1. Cas d’un dipôle RC (3H)

CONTENUS

  • 1.1 Le condensateur
    Description sommaire, symbole.
    Charges des armatures.
    Intensité : débit de charges
    Algébrisation en convention récepteur i, u, q.
    Relation charge-intensité pour un condensateur i = dq/dt, q charge du condensateur en convention récepteur.
    Relation charge-tension q = Cu; capacité, son unité le farad (F).
  • 1.2 - Dipôle RC
    Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension : tension aux bornes du condensateur, intensité du courant;
    étude expérimentale et étude théorique (résolution analytique).
    Énergie emmagasinée dans un condensateur.
    Continuité de la tension aux bornes du condensateur.
    Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.

COMPÉTENCES EXIGIBLES

  • Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.
    En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches tension, noter les charges des armatures du condensateur.
    Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation q = Cu.
    Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipôle RC est soumis à un échelon de tension.
    En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.
    Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.
    Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur.
    Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.
    Savoir exploiter un document expérimental pour :
    - identifier les tensions observées,
    - montrer l’influence de R et de C sur la charge ou la décharge,
    - déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.

  • Savoir-faire expérimentaux
    Réaliser un montage électrique à partir d’un schéma.
    Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux bornes du générateur, du condensateur et du conducteur ohmique.
    Montrer l’influence de l’amplitude de l’échelon de tension, de la résistance et de la capacité sur le phénomène observé lors de la charge et de la décharge du condensateur.
A chercher seul (corrigé)
A faire

 

1. Le condensateur

1. Description - Symbole

Un condensateur est formé de deux lames conductrices (armatures) séparées par un isolant appelé diélectrique (verre, air, film plastique, mica, céramique), dont la représentation symbolique est donnée figure ci-contre.

Remarque : un condensateur ne laisse pas passer de courant continu.

2. Charges des armatures

Dans le circuit représenté sur la figure ci-contre, le courant électrique qui circule provoque un déficit d’électrons sur l’armature A et un excès d’électrons sur l’armature B : le condensateur se charge, et à chaque instant :

L’intensité I du courant continu à travers une section (S) d’un conducteur représente un débit constant de charges électriques. Cette intensité est égale à la valeur absolue de la charge électrique totale traversant cette section par unité de temps :

3. Algébrisation de l’intensité

Considérons un conducteur parcouru par un courant d’intensité absolue I dont on ne connaît pas, a priori, le sens réel. On oriente arbitrairement (dans un sens ou dans l’autre) le conducteur par une flèche dessinée sur le fil, ce qui définit l’intensité algébrique i.
Le sens choisi est appelé sens positif.
Si le sens réel du courant correspond au sens choisi, alors i = + I > 0.
Si le sens réel du courant correspond au sens inverse, alors i = – I < 0.

4. Convention récepteur

Dans le but de simplifier la relation liant la tension u et l’intensité i pour un dipôle passif, il faut se placer en convention récepteur.

Dans un récepteur, le courant descend les potentiels. Si le dipôle AB est un récepteur, alors, pour u = uAB = VA – VB > 0 (soit VA > VB), le courant va bien de A vers B dans le dipôle, c’est-à-dire que i > 0. Les grandeurs tension et intensité sont, dans cette convention, de même signe.
Pour un générateur, et pour des raisons similaires, il faut utiliser la convention inverse (flèches u et i de même sens) appelée convention générateur.

Ex 6 p.146

  

2. Relation entre tension et intensité

1. Charge d’un condensateur à courant constant
En reprenant le montage de la figure ci-dessus (le condensateur étantpréalablement déchargé) et en relevant, à la fermeture de l’interrupteur K, les valeurs de la tension uAB en fonction de la durée t de charge, on obtient le graphe ci-contre.
Ce graphe est celui d’une fonction linéaire, on a donc : (1), où
k est une constante. Comme par définition qA = i.t, d’après la relation (1),
on en déduit , soit : (2).
Le coefficient C est positif : il est appelé capacité du condensateur. La capacité s’exprime en Farads de symbole F, avec qA en coulombs (C) et uAB en volts (V).

Ex 7 p.146

  

2. Cas des courants variables
Dans ce cas, intensité et tension sont des grandeurs qui sont des fonctions du temps. On travaille alors avec les valeurs instantanées i(t) et u(t).
Les lois fondamentales utilisées en courant continu (tensions, intensités) restent valables pour des valeurs instantanées.
Dans le cas de courants variables, l’intensité n’est plus un débit constant de charges.

Comme qA(t) = C.uAB(t), alors (4)

3. Dipôle RC

1. Charge et décharge d’un condensateur
Le montage ci-contre est réalisé pour étudier la charge puis la décharge d’un condensateur.
Le générateur de tension délivre ici une tension continue, de valeur constante au cours du temps. On utilise un oscilloscope à mémoire.
La charge ou la décharge d’un dipôle (R, C) sont des phénomènes transitoires.

Si K passe en position (1), un courant positif s’établit dans le circuit. L’intensité i de ce courant décroît progressivement tandis que uC augmente. Quand uC = Uo, alors i = 0.
D’après la loi des mailles :

donc
 (5)

Cette équation est l’équation différentielle régissant la charge du
condensateur.

Solution analytique

Vérifions que la solution analytique uC=Aeat+B satisfait à l'équation.
En remplaçant dans (5), uC et sa dérivée par leur expression, on obtient :

Les deux membres de cette équation ne peuvent être égaux, quelle que soit la valeur de t, que s'ils sont nuls ; A ne pouvant être nul, on a

La solution satisfaisant à l'équation différentielle de la charge est :

Prise en compte des conditions initiales

Elles permettent de déterminer la constante A. A t=0, le condensateur n'est pas chargé, la tension uC est nulle. On peut écrire :

Lors de la charge, la tension aux bornes du condensateur a pour expression :

On en déduit celles de la charge q du condensateur et de l'intensité i du courant dans le dipôle RC, en fonction du temps :

Pa dérivation, on obtient :


Si K passe de (1) à (2), un courant négatif s’établit dans le circuit. La valeur absolue de l’intensité de ce courant décroît : le condensateur se décharge. Quand i = 0 alors uC = 0.
D’après la loi des mailles :


(6)

Cette équation est l’équation différentielle régissant la décharge du condensateur.

Solution analytique

Vérifions que la solution analytique uC=Aeat+B satisfait à l'équation.
En remplaçant dans (6), uC et sa dérivée par leur expression, on obtient :

Les deux membres de cette équation ne sont égaux, quelle que soit la valeur de t que s'ils sont nuls. On a donc :

La solution satisfait à l'équation différentielle de décharge :

Prise en compte des conditions initiales

Elles permettent de déterminer la constante A. A t=0, le condensateur est chargé, la tension uC est égale à U. On peut écrire U=A.

Lors de la décharge, la tension aux bornes du condensateur a pour expression :

On en déduit celles de la charge q du condensateur et de l'intensité i dans le dipole RC :
Remarque : En pratique, on admet que la charge est termineée lorsque la tension uC aux bornes du condensateur atteint 99% de sa valeur finale théorique. Cette valeur est atteinte pour une durée de charge voisine de 5.
De même, la décharge est considérée comme terminée au bout d'une durée voisine de 5.

2. Influence de la constante de temps sur la charge et la décharge

On remplace le générateur de tension continue par un générateur délivrant une tension en créneaux. Les résistance et condensateur
sont variables.
Sur la voie B, on observe la tension aux bornes du condensateur. On fait varier les valeurs des résistances du conducteur ohmique et la capacité du condensateur. On obtient les deux oscillogrammes de la figure ci-dessous :

Ex 11 p.147

Ex 10 p.147

4. Intensité et énergie dans un condensateur

1. Intensité du courant lors de la charge et la décharge

Pour étudier l’intensité du courant, l’oscilloscope doit être branché aux bornes du conducteur ohmique . On visualise ainsi la tension
uR = R.i, donc l’intensité du courant à un facteur R près.

Intensité lors de la charge :
D’après (4) et (5), on a

En posant , on a

i(t) est une fonction décroissante par valeurs positives.
Intensité lors de la décharge :
De même, d’après (4) et (6), on a :

On obtient

i(t) est une fonction croissante par valeurs négatives.
Contrairement à uC(t), i(t) est discontinue.

Ex 17 p.149

Ex 14/15 p.148

2. Énergie stockée dans un condensateur

Un condensateur chargé constitue un réservoir d’énergie. Cette énergie peut être restituée dans un circuit (principe du flash photographique).
La valeur de l’énergie potentielle électrostatique stockée par un condensateur est :

D’après (2), on a aussi

Remarque : stockage et déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément, ce qui confirme que les variations de la tension uC(t) ne sont jamais discontinues.

3. Analyse dimensionnelle de la constante de temps

D’après la loi d’ohm pour un conducteur ohmique : u = R.i, on a
D’après (2), on a :
Or d’après (4), on a
On en déduit

La constante a donc bien la dimension d’un temps.

Ex 12/16 p.148

Ex 19 p.150

Objectif bac p.152/153/154