C. Evolution temporelle des systèmes électriques

2. Cas d’un dipôle RL (3H)

CONTENUS

  • 2.1 La bobine
    Description sommaire d’une bobine, symbole.
    Tension aux bornes d’une bobine en convention récepteur :

    Inductance : son unité le henry (H).
  • 2.2 Dipôle RL
    Réponse en courant d’une bobine à un échelon de tension : étude expérimentale et étude théorique (résolution analytique)
    Énergie emmagasinée dans une bobine.
    Continuité de l’intensité du courant dans un circuit qui contient une bobine.

COMPÉTENCES EXIGIBLES

  • Connaître la représentation symbolique d’une bobine.
    En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes flèches-tension.
    Connaître l’expression de la tension aux bornes d’une bobine; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation.
    Effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension.
    En déduire la tension aux bornes de la bobine.
    Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unitépar analyse dimensionnelle.
    Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée.
    Savoir qu’une bobine s’oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que l’intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité
    Savoir exploiter un document expérimental pour:
    - identifier les tensions observées
    - montrer l’influence de R et de L lors de l’établissement et de la disparition du courant
    - déterminer une constante de temps.

  • Savoir-faire expérimentaux
    Réaliser un montage électrique à partir d’un schéma.
    Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux bornes du générateur, de la bobine et du conducteur ohmique supplémentaire.
    Montrer l’influence de l’amplitude de l’échelon de tension, de R et de L sur le phénomène observé. Réaliser un montage électrique à partir d’un schéma.
A chercher seul (corrigé)
A faire

 

1. La bobine

1. Description - Symbole

Les bobines ou inductances sont constituées d’un fil conducteur isolé bobiné sur un support isolant (bakélite, téflon...) cylindrique ou torique, à l’intérieur desquelles on peut introduire des noyaux métalliques (alliage ferromagnétique) ou des noyaux de ferrite.
Du point de vue électrique, une bobine est caractérisée :
– par une grandeur appelée inductance, notée L, exprimée en henry (H) ;
– par sa résistance r exprimée en ohm qui représente son défaut.
Remarque : l’inductance dépend des caractéristiques physiques de la bobine (nombre de spires par unité de longueur, présence ou non d’un noyau...).

2. La bobine en convention récepteur

La tension aux bornes d’une bobine est :

(1).

Le terme r.i correspond à la tension que l’on aurait aux bornes d’un
conducteur ohmique de résistance r.
Le terme est lié aux variations de l’intensité du courant dans la
bobine.
En particulier, si i > 0 et tend à augmenter (lors de la fermeture du circuit) alors > 0. La bobine se comporte bien en récepteur qui s’oppose au passage du courant, elle modère l’augmentation de i.
Inversement, si i > 0 et tend à diminuer (lors de l’ouverture du circuit), alors < 0. La bobine se comporte en générateur qui tend à maintenir un courant dans le circuit.
Remarque : en régime permanent et en courant continu (i = cte), on a uAB = ri ; la bobine se comporte alors comme un simple conducteur ohmique.

3. Énergie dans une bobine

La puissance électrique reçue par un dipôle (AB) est égale à Pe = uAB.i.
Pour une bobine : Pe = r i²+
Cette puissance se décompose en deux termes :
– la puissance dissipée par effet Joule : Pj = r.i² ;
– la puissance (magnétique) emmagasinée par la bobine :

Cette expression peut s’écrire : (4).
Or par définition de la puissance : (5).
D’après (4) et (5), on déduit l’énergie emmagasinée par une bobine à la date t :

Ex 12 p.170

  

2. Dipôle RL

1. Étude expérimentale

On visualise la tension aux bornes du générateur sur la voie YA de l’oscilloscope.
On visualise la tension uBM aux bornes du conducteur ohmique R’ (à un coefficient près, c’est l’intensité i du courant dans le circuit : uBM = R' i ) sur la voie YB

On obtient les oscillogrammes dessinés sur le schéma ci-contre. On voit que :
(a) lors de la mise sous tension du circuit, le courant n’atteint pas immédiatement son maximum ;
(b) lorsque la tension s’annule, le courant ne diminue que progressivement.

 

2. Étude des phénomènes transitoires

L’interrupteur K du montage précédent étant fermé, un courant i(t) s’établit dans le circuit.

D’après la loi d’additivité des tensions : uAM = uAB + uBM.

En posant R = r + R', On obtient :

(2)

C’est l’équation différentielle régissant l’établissement du courant dans la bobine.
Durant l’établissement du courant, le générateur maintient une tension constante : uAM = U. vérifions que la solution :

satisfait à l'équation différentielle (2). En remplaçant i et sa dérivée par leur expression, on a :

d'où :

La solution   satisfait à l'équation différentielle du circuit lorsque le dipôle RL est soumis à la tension constante U.

Etablissement du courant
A l'instant de date t=0, on ferme le circuit. La tension aux bornes du dipôle RL devient égale à U. On a donc :

Lorsque t devient très grand, l'intensité du courant devient constante : le régime permatnent est atteint. En notant I cette instensité qui a pour valeur U/R :

A t=0, l'intensité du courant est nulle : 0=A+I, d'où A=-I. On a donc :

On ouvre l’interrupteur du montage précédent : le courant décroît progressivement jusqu’à la valeur 0.

D’après la loi d’additivité des tensions : uAM = uAB + uBM,
soit :

En posant R = r + R'On obtient l’équation différentielle :

(3)

C’est l’équation différentielle régissant l’annulation du courant
dans la bobine.

Si t=0 est la date à laquelle on ouvre le circuit, alors pour t>0, u=0 et on a donc :

A t=0, i=I donc A=I

Lors de la rupture du courant dans le dipôle RL, la valeur de l'intensité est donnée par :

Ex 10/11 p.170

Ex 9 p.170

Ex 16/17 p.171

3. Constante de temps et tension pour un circuit RL

1. Influence des paramètres R et L

L’établissement du courant et son arrêt dans le circuit sont d’autant plus rapides que la constante = L /R est plus petite, c’est-à-dire que L est petit et R est grand

2. Détermination expérimentale de la constante de temps = L/R

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe i(t) au point d’abscisse t = 0 est égale à la valeur de la dérivée de la fonction i(t) à la date t = 0.
Dans le cas de l’établissement du courant dans le circuit et d’après (X) on a :

Dans le cas de l’annulation du courant dans le circuit et d’après (Y), on a :

Dans les deux cas, le coefficient directeur de la tangente à la courbe i(t) au point d’abscisse t = 0 permet la détermination facile de la constante de temps .
Remarque : = L/R a la dimension d’un temps et s’exprime donc en secondes.

Ex 18 p.172

Ex 20 p.172

3. Évolution de la tension en régime transitoire

Lors de l’établissement du courant, et d’après (1) et (X), si la résistance de la bobine est négligeable, on a :

Lors de l’arrêt du courant, et d’après (1) et (Y), si la résistance de la bobine est négligeable, on a :

Remarque : on observe que la variation de la tension est discontinue.

 

Ex 15 p.171

Objectif bac p.174