TP : Etude de la chute verticale de solides dans des fluides. Détermination de vitesse limite.

Lancer Aviméca. Ouvrir le film 1. Faire l'étalonnage.
Il faut maintenant pointer de la façon la plus précise possible les positions successives du centre de la bille.
Faire ensuite Fichier>mesure>copier dans le presse-papier>tableau

Ouvrir regressi
Faire fichier>nouveau>presse papier. Une fenêtre contenant les données faites s'ouvre. On obtient la représentation de y en fonction de x.

Dans Regressi on obtient la représentation de y en fonction de x

Avec l'orientation des axes choisie, la vitesse de chute est l'opposé de la dérivée de y par rapport au temps.

Il faut opérer en deux étapes : calculer la dérivée puis changer le signe.

• Calcul de la dérivée
  Passer dans la fenêtre des grandeurs de Regressi
  Choisir "Ajouter une grandeur".
  Dans un premier temps on va calculer la dérivée de y par rapport au temps.
  La nouvelle grandeur doit être de type "Dérivée".
  La nommer, par exemple, "dery" et la définir comme dy/dt.
  Cliquer sur OK.
• Calcul de la vitesse
  On va maintenant calculer la vitesse. Pour cela il faut ajouter une autre grandeur.
  Choisir cette fois une "Grandeur calculée", la nommer v et la définir comme l'opposé de la dérivée précédente.
  Cliquer sur OK.
  Passer dans l'onglet "Variables" pour observer le tableau
  Il y a les valeurs des dates, de x, de y, de la dérivées de y par rapport au temps et celles de la vitesse.

Repasser dans la fenêtre "Graphique".Afficher la fenêtre des coordonnées.
Choisir maintenant de représenter la vitesse v en fonction du temps t avec une ligne de type "Lissage" d'ordre "3" et des points tracés par des "Croix".
Cliquer sur OK.
On obtient la courbe souhaitée.
Sur cette courbe on distingue bien le régime transitoire (vitesse croissante) et le régime permanent (vitesse constante).
Remarque : La vitesse initiale est rarement nulle car le début du mouvement n'est pas synchronisé avec la prise d'une image.

Estimer la valeur de la vitesse limite v_lim.
Déterminer le temps caractéristique de la chute.

Théorie

Soit v(t) la vitesse mesurée à différents instants t lors de la chute. La méthode d'euler donne v(ti+1) = v(ti) +t . v'(ti)

L'équation différentielle qu'il faut résoudre est

à t = 0 v₀= 0 d'où

à t=1 v₁ = v₀+t v'₀ d'où v₁ = t .( )

etc

Par GRANDEUR CAL, entrer le paramètre g, en N.kg^-1 puis saisir la valeur numérique de g.

Entrer la paramètre rho, en kg.m^-3 puis saisir la valeur numérique de rho.

Entrer la paramètre r en m puis saisir la valeur numérique de r.

Entrer la paramètre V=4/3.Pi.r^3, en m^3 puis saisir la valeur numérique de V.

Entrer la paramètre m, en kg puis saisir la valeur numérique de m.

Ouvrir la feuille de calcul EXPRESSIONS et saisir, à la suite, l’algorithme suivant, selon la syntaxe :

k=1
n=1
vcal0=0
Dt=t[1]-t[0]
vcal[i]=vcal[i-1]+Dt*(g-rho*g*V/m-(k/m*vcal[i-1])^n)

où Dt représente en fait t

La valeur de k et n seront modifiés pour que l'algorithme se rapproche de la courbe expérimentale

La troisième ligne initialise l’algorithme (valeur de i à t = 0) ;
la quatrième ligne définit le “pas” t du calcul ;
la cinquième fait les calculs en boucle du premier point i = 1 jusqu’au dernier point i = n du tableau de mesures.

Observer le résultat dans le tableur VARIABLES puis en mode graphique par , AJOUTER la courbe vcal = f (t) à la précédente (axe des ordonnées à GAUCHE).

Comparer. Si le résultat n'est pas satisfaisant changer la valeur de k et n.

conclure.