2a. Etude de cas : Chute verticale d'un solide (3H)
CONTENUS
Force de pesanteur, notion de champ de pesanteur
uniforme.
- Chute verticale avec frottement
Application de la deuxième loi de Newton à un mouvement
de chute verticale : forces appliquées au solide (poids,
poussée d’Archimède, force de frottement fluide);
équation différentielle du mouvement; résolution
par une méthode numérique itérative, régime
initial et régime asymptotique (dit “permanent”),
vitesse limite ; notion de temps caractéristique.
- Chute verticale libre
Mouvement rectiligne uniformément accéléré;
accélération indépendante de la masse de l’objet.
Résolution analytique de l’équation différentielle
du mouvement; importance des conditions initiales.
COMPÉTENCES EXIGIBLES
Définir un champ de pesanteur uniforme.
Connaître les caractéristiques de la poussée
d’Archimède
Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en
chute verticale dans un fluide et établir l’équation
différentielle du mouvement, la force de frottement étant
donnée.
Connaître le principe de la méthode d’Euler pour
la résolution approchée d’une équation
différentielle.
Définir une chute libre, établir son équation
différentielle et la résoudre
Définir un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Savoir exploiter des reproductions d’écrans d’ordinateur
(lors de l’utilisation d’un tableur grapheur) correspondant
à des enregistrements expérimentaux
Savoir exploiter des courbes vG = f(t) pour :
- reconnaître le régime initial et/ou le régime
asymptotique.
- évaluer le temps caractéristique correspondant au
passage d’un régime à l’autre.
- déterminer la vitesse limite.
Dans le cas de la résolution par méthode itérative
de l’équation différentielle, discuter la pertinence
des courbes obtenues par rapport aux résultats expérimentaux
(choix du pas de résolution, modèle proposé
pour la force de frottement).
Savoir-faire expérimentaux
Utiliser un tableur ou une calculatrice pour résoudre une
équation différentielle par la méthode d’Euler.
A chercher seul (corrigé)
A
faire
1. Chute libre verticale
1. Mouvement de chute
libre
C’est le mouvement d’un objet soumis uniquement à son poids.
2. Expression
de l’accélération
En se plaçant dans un référentiel terrestre supposé galiléen et en considérant un solide soumis à son seul poids , d’après la deuxième loi de Newton, on a :
, soit (1)
L’accélération du centre d’inertie du solide est égale au champ de pesanteur.
Elle ne dépend ni de la masse du solide ni de sa vitesse initiale, c’est-à-dire de la manière dont il est lancé.
Ex
6 p.232
3. Chute
libre sans vitesse initiale
Choisissons un repère orthonormé dont l’axe vertical est orienté vers le haut et dont l’origine O est la position initiale. L’origine des dates est choisie à l’instant où le solide est lâché.
Le champ de pesanteur étant considéré comme uniforme (identique en tout point de la région considérée) dans le repère choisi, on pose les conditions initiales suivantes :
et
Comme , on a d'après (1) :
Par intégrations successives du vecteur accélération et en tenant compte des conditions initiales, on obtient :
et
Le centre d’inertie G d’un solide en chute libre, abandonné sans vitesse initiale, est animé d’un mouvement :
- rectiligne vertical (car x = 0 et y = 0) ;
- uniformément accéléré ( car = (-g).(-gt) = g².t> 0 où t>0).
La valeur de la vitesse croît d’une façon linéaire avec la durée de la chute :
(2)
La hauteur de la chute est liée à la durée par la relation : (3).
En éliminant t entre les relations (2) et (3), nous obtenons la relation caractérisant une chute libre :
4. Représentation
graphique des grandeurs cinématiques pour une chute libre
Chute verticale
sans vitesse initiale
Chute verticale
avec vitesse initiale vers le haut
Ex
8 p.232
2. Chute verticale avec
frottement
1. Les forces en présence
Un objet qui tombe dans l’atmosphère est soumis à trois forces :
– son poids , vertical, vers le bas, de valeur P = mg (constante pour un champ de pesanteur uniforme) ;
– la poussée d’Archimède due à l’air, verticale, vers le haut, de valeur (constante au cours du temps) égale au poids du volume d’air déplacé. où V représente le volume de l’objet et rho représente la masse volumique de l’air ;
– une force de frottement fluide verticale, de sens opposé au mouvement et dont la valeur croît avec la vitesse d’une façon linéaire.
Ex
7 p.232
Ex
9 p.233
2. Application de la
deuxième loi de Newton à un mouvement de chute verticale
On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Le système étudié est un solide lâché, à t = 0, sans vitesse initiale, d’un point O origine du repère et soumis aux trois forces , et .
Appliquons au système étudié la 2e loi de Newton :
(4)
Au fur et à mesure de la chute, la vitesse augmente et l’intensité de la force augmente contrairement aux deux autres forces. Pour une certaine vitesse appelée vitesse limite vlim, l’intensité de la force atteint un maximum
tel que : f = P + PA.
On a alors , d’où : le mouvement est alors uniforme.
3. Équation différentielle
du mouvement
Ces forces étant verticales, elles n’ont chacune qu’une composante verticale :
PZ = – m.g ; PAZ = + mair.g ;
On en déduit, d’après (4), que l’accélération n’a qu’une composante verticale telle que :
(5)
D’après
la définition de l’accélération et
en posant : v = vZ (< 0),
(6)
C’est l’équation
différentielle du mouvement.
4. Résolution
de l’équation différentielle par la méthode
d’Euler
D’après
la notion de dérivée, ,
soit en première approximation :
pour t
le plus petit possible.
En appliquant cette relation à l’équation
(6), nous obtenons une suite de valeurs de la vitesse à
intervalles de temps réguliers t
(c’est-à-dire aux dates : 0, t,
2t, 3t...), à partir de v0 = 0.
soit avec v0 = 0,
À partir de v1, on peut établir de la
même manière les valeurs v2, v3
…
Cette méthode numérique itérative permet
de tracer point par point la courbe représentative de la
fonction v(t).
A chercher seul (corrigé)
A
faire
, d’après la deuxième loi de Newton, on a :
, soit 
(1)
dont l’axe vertical est orienté vers le haut et dont l’origine O est la position initiale. L’origine des dates est choisie à l’instant où le solide est lâché.
et 
, on a d'après (1) : 
et 
= (-g).(-gt) = g².t> 0 où t>0).
(2) 
(3).
due à l’air, verticale, vers le haut, de valeur (constante au cours du temps) égale au poids du volume d’air déplacé. 
où V représente le volume de l’objet et rho représente la masse volumique de l’air ;
verticale, de sens opposé au mouvement et dont la valeur croît avec la vitesse d’une façon linéaire.
(4)
, d’où 
: le mouvement est alors uniforme.
(5)
(6)
,
soit en première approximation : 
pour 
t
le plus petit possible.
soit avec v0 = 0, 
